目　录

第 1章　数值计算的误差　1
1.1　误差类型　1
1.2　误差定义　2
1.3　有效数字　4
1.4　数值计算的运算误差　6
1.5　误差的传播与计算不稳定性　11
习题1　13

第 2章　线性代数方程组与矩阵　15
2.1　矩阵的几个定义　15
2.2　解的唯一性　17
2.3　高斯消去法　18
2.3.1　高斯消去法的基本原理　18
2.3.2　选主元　20
2.4　LU分解　24
2.4.1　系数矩阵的LU分解　25
2.4.2　用LU分解求解方程组　28
2.5　乔里斯基分解　30
2.5.1　对称正定矩阵的乔里斯基分解　30
2.5.2　用乔里斯基分解求解方程组　33
2.6　高斯-约当消去法　36
2.7　高斯-约当法求矩阵的逆　39
2.7.1　原地工作的矩阵求逆　40
2.7.2　全选主元　44
2.8　求解三对角线方程组　46
2.9　高斯-赛德尔迭代法　50
2.10　关于病态系统　54
习题2　55

第3章　矩阵的特征值与特征向量　57
3.1　关于矩阵特征值与特征向量的基本概念　57
3.2　特征向量的正交性与规格化正交性　60
3.3　乘幂法　61
3.4　求对称矩阵特征值的雅可比方法　66
3.5　求对称矩阵特征值的豪斯荷尔德方法　77
3.5.1　用豪斯荷尔德变换将一般实对称矩阵约化成对称三对角矩阵　77
3.5.2　确定对称三对角矩阵的特征值　80
3.6　用QR方法求一般实矩阵的全部特征值　83
3.6.1　用初等相似变换将一般实矩阵约化成上H矩阵　84
3.6.2　QR方法确定上H矩阵的特征值　86
习题3　92

第4章　非线性方程　94
4.1　图解法　94
4.2　逐步扫描法　95
4.3　对分法　96
4.4　试位法　98
4.5　逐次代入法　100
4.5.1　简单迭代法　100
4.5.2　埃特金迭代法　102
4.6　牛顿法　105
4.7　割线法　108
4.8　多项式方程的求解　108
4.9　非线性方程组的求解　113
4.9.1　梯度法　113
4.9.2　拟牛顿法　116
习题4　121

第5章　插值法　123
5.1　多项式插值　123
5.2　牛顿向前差分公式　125
5.3　牛顿向后差分公式　127
5.4　牛顿差商公式　128
5.5　拉格朗日插值公式　130
5.6　样条插值　134
习题5　141

第6章　函数逼近　143
6.1　正交多项式及其构造　143
6.2　**佳二乘逼近　144
6.2.1　二乘逼近　144
6.2.2　**佳二乘逼近多项式　144
6.3　切比雪夫逼近　147
6.3.1　切比雪夫多项式　147
6.3.2　用切比雪夫级数计算函数的近似值　148
6.3.3　用切比雪夫多项式降低逼近多项式的次数　152
习题6　154

第7章　曲线拟合　156
7.1　曲线拟合的**小二乘法　156
7.2　线性拟合　157
7.2.1　一般的线性拟合　157
7.2.2　半对数数据拟合　159
7.2.3　对数数据拟合　161
7.2.4　相关系数　163
7.3　多变量线性拟合　164
7.4　多项式拟合　169
7.5　使用正交多项式的拟合　171
习题7　176

第8章　数值积分　177
8.1　牛顿-柯特斯积分公式　178
8.2　变步长求积法　181
8.2.1　变步长梯形求积法　181
8.2.2　变步长辛卜生求积法　183
8.3　龙贝格求积法　185
8.4　高斯求积法　188
8.4.1　高斯积分公式　188
8.4.2　几种常用的高斯求积公式　189
8.5　数据的积分　195
8.6　开放积分公式　197
习题8　198

第9章　数值微分　199
9.1　差分公式　199
9.2　理查森外推法　203
9.3　拉格朗日微分公式　206
习题9　208

第 10章　常微分方程的初值问题　209
10.1　常微分方程初值问题的数值解　209
10.2　欧拉方法　211
10.2.1　基本公式　211
10.2.2　改进欧拉公式　212
10.3　步长的自动选择　216
10.4　龙格-库塔法　219
10.5　阿当姆斯预报-校正法　224
10.6　常微分方程组　228
10.7　高阶微分方程　231
10.8　刚性微分方程　232
习题10　234

第 11章　常微分方程的边值问题　236
11.1　试射法　236
11.2　有限差分法　241
习题11　245
部分参考答案　246

参考文献　252